为了深入学习首届“全国教书育人楷模”姜伯驹院士的事迹与精神，近日，“姜伯驹院士报告会——一个几何公式的故事”在北京大学百周年纪念讲堂隆重举行。

报告展示了拓扑学公式“Lk=Tw+Wr”对推动人类科技发展的重要性。姜伯驹院士还结合自己的经历，与听众分享了对数学之美、学科交叉之妙的深刻体会。在他看来，数学作为基础学科，作为所有科学的通用语，有着不可思议的威力，常常能给人带来意想不到的惊喜。他还勉励年轻人要勇于开拓交叉学科的新境界。北京大学各院系的师生和兄弟院校的数学爱好者们得以在与姜老师面对面的交流中，了解到他的学术观点与人格魅力。

会后，北京大学数学科学学院的师生撰文回忆了姜伯驹在治学、教学与为人上的点点滴滴，以学习他一丝不苟、精益求精的工作态度，发扬他诲人不倦、甘为人梯的精神品质。

努力做事 低调做人

北京国际数学研究中心、北京大学数学科学学院 研究员 王家军

近日，姜先生在北大百周年纪念讲堂作了题为“一个几何公式的故事”的报告。为了准备报告，他一个多月之前就开始整理资料，预备道具，甚至亲自到五金店寻找合适的演示工具。在报告中，他从一个公式出发，谈到DNA，谈到黄瓜的蔓藤，谈到太阳风暴对地球的影响。他指出数学是各个学科共同的语言，鼓励大家加强学科之间的交流与合作。这让我印象深刻，也让我想起了与姜先生交往过程中的点点滴滴。

刚进北大的时候，听说北大有位老师是先做院士后做教授的，那就是姜伯驹先生。当时没有想到日后会有机会成为姜先生的弟子。

第一次见到姜先生是在1995年北大数学学院的成立大会上。姜老师给我的最初印象是亲切、谦和。大四时，我开始参加姜先生和王诗宬老师共同举办的低维拓扑讨论班，慢慢对姜先生有了更多的了解。

姜先生致力于在连续形变下映射不动点的下界估计，称为尼尔森不动点理论。他在1954年提出了通过某个子群的方式来研究不动点，引发了尼尔森不动点的再次蓬勃发展，该子群被大家称为“姜子群”，后来也有“姜空间”、“姜条件”等概念。姜先生的文章也被称为“seminal”，这是大家对一篇文章所能给与的最高评价。他在1983年写的《尼尔森不动点理论讲义》，也是不动点理论的经典著作。

姜先生曾经跟我们说，我首先是一名教师，其次才搞一些研究。除了参加拓扑讨论班外，他还讲授“同调论”。我是1998年秋天在北大一教（103）听先生讲课的。那时适逢他开始整理讲义，准备出版。他的板书写得很好，哪怕是这门他已经教了很多年的课，他也每次都认真准备，连什么字什么图放在黑板的什么地方，都事先考虑好了，所以他的板书给人以整体上的美感。姜先生总是亲自批改作业，我们的作业本上有很多小注。期末考试的时候，他说：“你们把演算纸张也交上来，这样可以找到多给你们分数的地方。”

我是一个迟钝的人，直到数年后才发现自己从姜先生的课里受益良多。他讲解清楚简洁，注重深刻理解，不仅仅告诉我们如何证明定理。我也听过国内外一些著名数学家讲“同调论”，但没有人能讲解得像姜老师那样清晰。直到现在，当时的笔记仍然是我讲授“同调论”的重要参考资料。

在姜先生的带领下，国内拓扑学界气氛非常友好。他的学生王诗宬、段海豹、周青等都是国内拓扑学界的领军人物，也都为人谦和，以学术为重。

2010年1月，在天津的一个会议上听先生作报告，我惊讶地发现，虽然已年过70，但他所做的幻灯片依然是最漂亮的。想起当年他写书的时候，还跟我讨论过如何能把插图做得更加美观。他对教学的严谨和认真亦是如此。

先生是一个极其谦和的人，图书馆的一位老师告诉我，哪怕复印材料这样的事情，他都是亲历亲为，很少看到院士这样做。先生也是一个细心的人，他总是把学生的电话、要做的事情等写在办公室黑板上的角落里。

我决定回国工作前，有很多的顾虑，姜先生在我去找他的当晚，跟我谈话很久，彻底打消了我的顾虑，并亲自打电话向院领导说明我回国工作的决心。

姜先生是北大数学科学学院的奠基人，作为第一任院长，他居功至伟。但后来，先生请大家吃饭，希望大家不要再选他继续当院长。他努力做事、低调做人的作风值得我们每个人学习。

妙趣横生 引人入胜

北京大学数学科学学院2009级博士研究生 王枫

我与姜老师的接触始于孙洪宾（一位现在普林斯顿读博士的师兄）在讨论班上讲他的硕士论文，他的指导老师是姜伯驹和王诗宬（姜老师的学生，现为中科院院士）。当时，我对三流形知道不多，对某一步不太确定，就问了孙洪宾。结束之后，姜老师好像注意到了我。从此以后，我在几何拓扑的讨论班上就是一名正式成员了。除了没写这方面的文章，从听报告到作报告都是有的，因为我的主要精力并不放在这个领域。不过一次在听了姜老师关于“Scott猜想”的报告后，碰巧找到了一个有点意思的反例（当然不是对“Scott猜想”的），只是并没有一般的结论，就先停在那里了。后来我和几位同学去姜老师家也曾聊到这件事，很希望能把那个问题研究得更深。这个过程让我明白，研究就是一个会碰到意外精彩和意外困难的精神活动，当时姜老师回忆到江泽涵先生曾给他的一个问题，我想就有这个意思。正是这种锻炼能够造就灵敏的头脑，让我们在克服大的困难后有大的享受、大的收获。

姜老师在讨论班上是缺席最少的，他总是很热心地听报告，休息时也会就一些问题表达看法。由一群年轻人组成的讨论班热闹非常，不过有姜先生的地方也同样妙趣横生。关于我们的讨论班，完全不懂数学的人一定觉得我们在说什么有趣的事情，而理解数学的人很可能愿意加入进来。

姜老师的课我没有上过，因为时间的原因错过了，他现在年事已高不上大课了，可不管是从上过他课的同学口中，还是凭我的推断和想象，他的课应该是清晰透彻，引人入胜的。更重要的是，初学者一定能在他的课上收获不少，因为姜老师的课能让人感到数学之美，对数学产生浓厚的兴趣。即便一个聪明人也只在自己感兴趣的问题上更高明。

睿智博雅 宁静致远

北京大学数学科学学院2010级硕士研究生 樊昊霏

入校之初，我就从师兄、师姐口中屡屡听到他们对姜老师的钦佩之情。拜读姜老师的著作后，那字里行间的严谨、睿智，更坚定了我向姜伯驹老师学习的愿望。一直对数学殿堂满怀憧憬的我，对这位久负盛名的大师充满好奇。

直到大四，我有幸正式成为姜老师的学生，对姜老师有了更多的了解与敬爱。诚如传闻中所说，尽管他年岁已高，但其儒雅的谈吐，睿智的语言，严谨、清晰的逻辑思维和深入浅出的讲课方式仍然获得了众多学生的喜爱。他的课堂上永远洋溢着活跃，这种活跃使得我们更加轻松地走进数学殿堂，畅游在数学的浩瀚海洋之中，使我们真正体会到了数学的魅力，了解到作为一名数学人应有的冷静与缜密。

佩服姜老师的睿智，更被姜老师的亲切所感动。更多的时候，他亲切得如同一位慈祥的长者。让我无法忘怀的是，对我这样一个粗心大意的学生，姜老师永远不厌其烦地以一种亲切的态度帮我指出纰漏。尽管姜老师的学问非常广博，但仍然愿意与学生们一起探讨。在这样的过程中，作为学生的我们收获的不仅是书本上的知识，更是诚恳、严谨的学术态度。真正的大师，从不介怀别人的质疑，因为在互相探讨的过程中，会收获双赢的效果。姜老师用亲身进行示范，让我们体会到做学问应有博大的心胸和不惧权威的执著信念。

宁静致远是我对姜老师的最深印象。儒雅的风度、不俗的谈吐、广博的见识和开阔的心胸使这位老人在年轻一辈心中留下了“祥和”的印象。做学问最重要的就是平和的心态。不论是学问，还是生活，以一种祥和宁静的心态全身心投入，往往会有所成就。

尽管姜老师是一位在数学界久负盛名的大师，课下却更像一位“老顽童”。与姜老师的接触使我有更多的机会得以一窥这位数学大师的日常生活。姜老师钟爱“高科技”产品。已年过古稀的他运用计算机技术的熟练程度不亚于任何一位年轻学生，他所做的PPT不仅专业且十分美观，我们很多年轻学生都自叹不如。正是因为拥有这样的年轻心态，姜老师在学术领域总是充满着活力和激情。当然，活到老学到老，不断接受新鲜事物，更是一个人的重要能力和素质。姜老师让我认识到，不断地接受新鲜事物可以更好地“刺激”自身、调度活力，从而获得新的发现。同时，姜老师还告诉我们，学问不光要“广”，更要“精”。也许很多学者都可以做到广博，但却很少有人可以同时做到精深。将两者结合在一起，才能成为真正的大师。数学需要踏踏实实的刻苦钻研，更需要激情、活力的调动。而这种激情和活力不仅来自数学的魅力本身，更来自众多其他学科、领域的滋养和补充。诚如文学，诚如高科技。

姜老师身上有太多值得我们学习的地方，或许，只有亲身接触过姜老师的人才能真正体味姜老师的睿智、博雅。如此一位学者，贡献给学术界与教育界的绝非仅仅是若干著作与发现，更是诲人不倦的奉献精神，做学问的方法和生活的态度。对于后来者而言，这些往往比书本上的知识更具价值。或许，这正是姜老师给予我们的最为重要的“智慧”。

德高望重 平易近人

北京大学数学科学学院2008级本科生 王志宇

早在中学时代，作为数学爱好者，就听闻“姜空间”是少有的以中国人名字命名的空间。对姜先生这位德高望重的数学家，我的崇敬之情由来已久。

进入北大数学学院以后，我了解到姜先生是我院首任院长，在他的主持下，北大数学学院的教育教学模式进行了调整和改革，加强了基础课程，适当压缩了过偏、过难的内容，使之更适合学生学习。如今，我深深感受到了学院良好的学术气氛，课程内容丰富，既富有挑战性，又不是高不可攀。我想，这与姜老师的努力是分不开的。

近日，我有幸在姜先生的办公室旁听了他接受记者采访的过程。他的办公室清新、质朴，有一大一小两块黑板。小黑板用作备忘录，大黑板用于与学生或同事讨论问题，上面画的图形很美，能看出姜先生的深厚功底。姜先生平易近人，采访过程中总是面带微笑，真诚、和蔼、风趣。面对没有数学背景的记者，姜先生依然能够深入浅出地阐释，让人理解了数学家的工作以及数学的魅力所在。

他始终将教学放在第一位，教一门课程之前会准备半年左右的时间。当我得知他在70多岁时仍然会亲自查阅学生的作业时，我非常感动。在交谈过程中，我不时感受到姜先生对数学学科本身，对数学教学工作，以及对生活的深刻理解。其中关于学习知识与养成创新能力的关系的阐述，使我受益匪浅。

我虽然无缘成为姜先生亲自指导的学生，但我的许多任课老师都曾是姜先生的学生，或者曾受姜先生的指导、关怀和影响。名师出高徒，姜先生的许多学生如今已经成为各领域的大家，比如王诗宬院士、王长平教授等。他对数学的贡献，在于他对学生的培养，也在于他的人格魅力。

期待他的敬业精神发扬光大——一位北大老教师的愿望

我是姜伯驹院士的一个老学生，又是与他在同一教研室工作几十年的同事。

姜老师课讲得好,总是很受学生欢迎。我参加他讲过课的年级的校友会，大家回忆起老师，总是夸奖姜伯驹讲课最好。有一年，数学会在厦门举办一个代数拓扑学学习班，请了姜老师等几位教授为高校年轻教师讲课。结束时，主办方请听课人给老师打分。姜老师得了满分100分,远远超过了其他老师,得到了大家的一致赞扬。

有一年，我们请一位北美的华裔教授到北大讲代数拓扑课。为了让大家有些基础，正式开课前姜老师先给我们上了几次课。他所讲的内容在一些文献和著作中显得很复杂,以前我心存畏惧，一直没有去碰。姜老师按照他自己的方法，深刻而清晰地把它们讲明白了。那次讲学活动给我留下印象最深的就是他讲的那几次课。

在当北京大学数学学院院长和主持学院的教改工作时,他主张在保证基础训练的前提下,课堂教学应不拘一格。他强调教师是榜样，教师讲课要有自己的特色，学生才会善于读书。他自己就是这方面的样板。学生在评价姜老师的课堂教学时说：“清晰且具有条理的板书和讲义，细致而又生动的讲授，深入浅出，易于理解，并且经常提出有趣的问题来激发我们的思考。在保持理论完整性的同时,又能将代数拓扑学中诸多抽象的概念和方法形象地表述和解释给听众,每堂课的内容都令人印象非常深刻。”

他讲课的课堂效果好，固然是因为他有清晰的思维、出色的表达能力和无可挑剔的板书，但是更为重要的是他对教学工作的高度重视和全身心的投入。姜伯驹热爱教学工作,并把主要精力放在教学上。尽管他自己的科研任务很重,社会工作繁忙，但他仍把教学和培养研究生看作自己最重要的工作。他一直坚持开课,并且不惜耗费大量时间开设了多门新课。

姜伯驹对自己的教学工作要求很高。上个世纪90年代，他连续多年给研究生讲“同调论”这门课。当时国外已经有许多有关“同调论”的教材和专著，但是他写的讲义融入了他自己的方法。有一次，我问他为什么不出版一本教材，他对我说：“每年讲课都对以前的讲法不满意，都要有大的改进,怎么能拿去出版？”这件事充分表现出他对教学工作的精益求精。

姜老师在课堂上不仅教给学生知识,教会学生怎样读书、怎样作研究,也让学生感受到他一丝不苟、精益求精的敬业精神。期待他的这种敬业精神能在年轻教师中发扬光大,推动教育事业的更大发展。（北京大学数学科学学院退休教授 尤承业）

为什么学数学

为什么要学数学，传统的说法可以归结为两句话，一句话是“数学是思维的体操”，另一句话是“数学是科学的语言”。大家都公认，数学是开发智力的重要途径，而且是锻炼理性思维的必由之路。

但是，光凭这两句话还不能反映出当代数学所发挥出来的非常活跃的作用。如果没有进一步的补充的话，它还有一些言外之意、弦外之音，好像学数学只是为了升学，只是为了学习别的学科，只强调了学习的需要，没强调工作岗位的需要，重视学而不重视用。

其实，数学在各方面的重要作用是这半个世纪以来一个非常突出的现象，现在正应该在这方面有所改善。但是，恰恰是这一方面的缺陷，在我们当前的数学教育里表现得相当严重。比如说，数学系的课程往往过分强调了数学的逻辑性，所以课程体系变成了紧密的逻辑链条，而按照逻辑链条来安排课程，4年中，许多影响深远、应用广泛的数学思想、数学方法连提都没提到。而在数学系以外的专业，数学课程往往被看成一种服务性的课程，内容取舍的首要准则就是只教专业课程需要用的数学知识，而这些内容的讲法又往往是通过对数学系相应的内容进行删节得到的。这样一种现状是很不适应需要的。在刚才那两句老话后面，恐怕还要加上一句。在这个时代，无论是在哪种行业的激烈竞争中，“胜人一筹”与“功亏一篑”的差距，往往就在于他是不是能够把数学用上、用好。数学是在竞争中取胜的法宝，是强者的翅膀。

我们要着眼于学生的将来，学生的适应性、竞争能力和潜力，努力提高大学生的数学修养（或者说数学素质）。这种修养，我认为至少应该包括理解、抽象、见识和体验这几个方面。

理解：数学本身是一门逻辑性很强的学问，所谓理解力，当然包括逻辑推理的能力，还应包括数学中分析、代数、几何等不同语言对应转换的能力，几何想象的能力，等等。这是大家已经注意和重视的。

抽象：是指一种观察能力、洞察能力，是灵活的联想对比、举一反三的能力，特别是把实际问题转化成数学问题的能力。

见识：要见识一些重要的数学思想和数学方法，以及用数学来解决问题的一些著名事例。就是说不单单要知道数学宝库里面的很多先进武器，而且要了解数学在人类文明史上的独特贡献。有了这样的见识，思路才会比较开阔，办法才会比较多，遇到困难时才会比较自觉地求助于数学，把数学用上去。

体验：数学实际上是一种分析问题、解决问题的实践活动，数学本身不是教条，而是像打猎一样，是一种活的本领，如转换观察问题的角度，选择适当的方法。此外，你还要能够检验所得到的结果是对还是不对，可靠性如何，要有一个适当的判断，要善于从中发现问题，寻找原因。这些环节只有亲身经历才能够真正学到手，所以体验也是比较重要的方面。

数学修养的提高自然是一辈子的事，还有创造性、技巧性等更深层次的含义，但是前面提到的理解、抽象、见识和体验等几个方面，在大学阶段就应该注意培养。不能再像过去那样，重“学”不重“用”，只注重一个“懂”字。（本文节选自姜伯驹于1995年3月在原国家教委主办的“面向21世纪教学内容和课程体系改革”报告会上的发言）

编辑：文尚